什么是协方差平稳_李勇成的博客-新东方前途出国

平稳性(stationarity)是时间序列分析中的一个核心概念，它规范了时间序列的结构特征，并为利用历史数据构建模型提供了理论依据。协方差平稳性取决于时间序列的前两阶矩：均值与自协方差(autocovariance)。自协方差是时间序列分析中的特有概念，其定义为随机过程在不同时点的协方差。该定义本质上是两个随机变量协方差概念在时间序列领域的推广。第h阶自协方差的数学表达式为：

γ_t,h = E[(Y_t - E[Y_t])(Y_t-h - E[Y_t-h])]

自协方差用γ表示，下标分别表示观测值之间的周期（即t）和滞后（即h）。当h = 0时，自协方差即等于Y_t的方差。γ_t,0 = E[(Y_t - E[Y_t])²]

这一新测度对于定义协方差平稳时间序列的性质至关重要。若时间序列的前两阶矩满足以下三个关键性质，则称其具有协方差平稳性：

均值恒定且不随时间变化（即对于任意t，E[Y_t] = µ）
方差有限且不随时间变化（即对于任意t，V[Y_t] = γ₀ < ）
自协方差有限、不随时间变化，且仅取决于观测间隔h（即对于任意t，Cov[Y_t, Y_t-h] = γ_h）

协方差平稳性在时间序列建模与预测中具有重要意义：

• 协方差平稳时间序列具有跨时期的稳定关系。

• 从非平稳时间序列估计的参数更难以解释。

跨时期的稳定关系使得历史数据可用于构建适用于样本外未来观测的模型。同时，非平稳时间序列可能难以解释，因为它们的估计参数并非渐近正态分布。此外，非平稳时间序列容易出现谬误关系，即本不相关的序列似乎呈现出具有统计显著性的虚假强相关性。

当时间序列{Yₜ}满足协方差平稳性（即自协方差函数与时间无关）时，滞后h阶的自相关系数定义为以下比值：

ρₕ=Cov[Yₜ,Y_t-h]/√(V[Yₜ]V[Y_t-h]) = γₕ/√(γ₀γ₀) = γₕ/γ₀

与相关系数类似，自相关系数ρₕ的取值范围恒为[-1,1]。对于滞后阶数h=±1,±2,...的所有自协方差集合，称为自协方差函数，该函数返回Yₜ与Y_t-h之间的自协方差值：γ(h)=γ|ₕ|。需特别注意的是，此函数仅在协方差平稳过程中具有明确定义。这种对称性源自协方差平稳性的第三条性质—由于自协方差仅取决于滞后阶数h而与时间t无关，因此有：Cov[Y_t, Y_t-h] = Cov[Y_t+h, Y_t]。类似地，自相关函数（autocorrelation function, ACF）定义为：ρ(h)=ρ|ₕ|。

自相关函数通常与其密切相关的偏自相关函数（partial autocorrelation function, PACF）配合使用。Yₜ与Y_t-h之间的偏自相关系数，衡量的是在控制中间滞后项(即Y_t-1, Y_t-2, ... Y_t-h+1)影响后，两者之间的相关性强度。偏自相关系数是自相关函数的非线性变换。当h=1时，由于Yₜ与Yₜ_-1之间不存在中间滞后项，此时偏自相关系数与自相关系数相等；但对于h≥2的所有其他滞后阶数，两者则存在差异。通常用α(h)表示偏自相关函数。在时间序列建模中，ACF与PACF被广泛用于模型选择，因为每类线性时间序列模型在这些函数上都会呈现出独特的特征形状。