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留学顾问李勇成

李勇成

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    什么是正态分布

    发布者：
    李勇成
    分类：
    其他
    2025-10-27
    57
    浏览

    正态分布是风险管理中最常用的分布。它通常也被称为高斯分布（以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名）或钟形曲线（这反映了其概率密度函数的形状）。正态分布的流行有多种原因：

    • 许多连续型随机变量近似服从正态分布。
    • 许多离散型随机变量的分布可以用正态分布很好地近似。
    • 正态分布在中心极限定理 中起着关键作用，该定理在假设检验（即利用数据判定客观统计陈述真实性的过程）中被广泛使用。
    • 正态随机变量具有无限可分性，这使得它们适用于在假设价格连续变动的模型中模拟资产价格。
    • 正态分布与许多其他重要分布密切相关，包括学生t分布、卡方分布和F分布。
    • 正态分布在线性运算下是封闭的（即正态随机变量的加权和仍然服从正态分布）。
    • 在假设基础观测值服从正态分布的前提下推导出的估计量，通常具有简单的闭式解。

    正态分布有两个参数：μ（均值） 和 σ²（方差）。正态分布没有偏度（因为其对称性），峰度为 3。这个峰度值常被用作一个基准，用以评估其他分布是否具有厚/肥尾特征（即相对于正态随机变量，出现特大偏差的概率相对更高）。

    正态分布的一个重要特例是当 μ = 0 且 σ² = 1 时，这被称为标准正态分布。通常用 Z 表示服从 N(0,1) 分布的随机变量。同样地，通常用 φ(z) 表示标准正态分布的概率密度函数，用 Φ(z) 表示标准正态分布的累积分布函数。

    正态分布应用广泛，其关键分位数通常用于两个目的：

    • 当将对数收益率描述为正态随机变量时，使用这些分位数来近似估计观测值超过 1σ、2σ 和 3σ 的概率。
    • 在构建置信区间时（即提供一个数值范围，真实但未知的参数值很可能落在此范围内），通常考虑使用标准正态分布构建的对称区间，这些区间包含 90%、95% 或 99% 的概率。

    独立的正态分布随机变量之和也服从正态分布。例如，如果 X₁ ~ N(μ₁, σ₁²) 和 X₂ ~ N(μ₂, σ₂²) 相互独立，且 Y = X₁ + X₂，那么 Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)。这个特性简化了不同频率下对数收益率的描述；如果每日对数收益率是独立且正态的，那么周度和月度的收益率也是如此。

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          正态分布是风险管理中最常用的分布。它通常也被称为高斯分布（以数学家卡尔·弗里德里希·高斯命名）或钟形曲线（这反映了其概率密度函数的形状）。正态分布的流行有多种原因：

          • 许多连续型随机变量近似服从正态分布。
          • 许多离散型随机变量的分布可以用正态分布很好地近似。
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          正态分布有两个参数：μ（均值） 和 σ²（方差）。正态分布没有偏度（因为其对称性），峰度为 3。这个峰度值常被用作一个基准，用以评估其他分布是否具有厚/肥尾特征（即相对于正态随机变量，出现特大偏差的概率相对更高）。

          正态分布的一个重要特例是当 μ = 0 且 σ² = 1 时，这被称为标准正态分布。通常用 Z 表示服从 N(0,1) 分布的随机变量。同样地，通常用 φ(z) 表示标准正态分布的概率密度函数，用 Φ(z) 表示标准正态分布的累积分布函数。

          正态分布应用广泛，其关键分位数通常用于两个目的：

          • 当将对数收益率描述为正态随机变量时，使用这些分位数来近似估计观测值超过 1σ、2σ 和 3σ 的概率。
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          独立的正态分布随机变量之和也服从正态分布。例如，如果 X₁ ~ N(μ₁, σ₁²) 和 X₂ ~ N(μ₂, σ₂²) 相互独立，且 Y = X₁ + X₂，那么 Y ~ N(μ₁ + μ₂, σ₁² + σ₂²)。这个特性简化了不同频率下对数收益率的描述；如果每日对数收益率是独立且正态的，那么周度和月度的收益率也是如此。

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