美国数学专业研究生专业介绍
数学（ Mathematics ）是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。透过抽象化和逻辑推理的使用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生。数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性。
1.2 美国数学专业常见学位
•PhD
•MA(Master of Arts)
•MS(Master of Science)
大部分院校的数学学院都会开设 Ph.D.学位，基本在美国前20 的学校开设 Master 项目的不多。
1.3 常见分支
自古以来，数学一直被广泛应用在各个不同的领域中，包括科学、工程、医学、经济学、金融学等。最近的几千年里，在不同的国度，数学都得到了发展。古埃及人写下了第一个方程。古希腊人则在许多方面都有贡献，比如几何和数秘术。中国数学家早就有了负数的概念。“0”这个数字则在印度首次被使用。接着在波斯伊斯兰教的黄金时期，数学家又跨越了一大步，书写了第一部代数学的书籍。在文艺复兴时期，数学与科学则共同欣荣发展。
http://news.xinhuanet.com/science/2017-02/20/c_136070060.htm
如今，随之社会的发展和科学的进步，数学开始逐渐变得专业化，现代数学可以大致被分为两个领域：纯粹数学（研究数学本身）和应用数学（用以解决更实际的问题）。下面我们就来详细介绍一下这两个大的分支：
1.3.1 纯粹数学（Pure Mathematics）
概念：
纯粹数学也叫基础数学，是一门专门研究数学本身，不以实际应用为目的的学问，研究从客观世界中抽象出来的数学规律的内在联系，也可以说是研究数学本身的规律。相对于应用数学而言，和其它一些不以应用为目的的理论科学(例如理论物理、理论化学)有密切的关系。纯粹数学以其严格、抽象和美丽著称。自 18 世纪以来，纯粹数学成为数学研究的一个特定种类，并随着探险、天文学、物理学、工程学等的发展而发展。
https://baike.baidu.com/item/纯粹数学/2785306?fr=aladdin
基础数学是对数学结构本身的内在规律进行研究，而并不要求同解决其他学科的实际问题有直接的联系，只是以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。基础数学包含的分支有： 代数学、数论、几何学、拓扑学、分析学、函数论、组合数学等。
基础数学是数学科学的核心。它不仅是其它应用性数学分支的基础，而且也为自然科学、技术科学及社会科学提供必不可少的语言、工具和方法。研究基本的类型和过程如何转化成抽象的概念陈述，包括解析、代数和几何数学的抽象概念等, 是所有学校数学系主要的研究方向。微分几何、偏微分方程等都属于基础数学范畴。人们耳熟能详的陈景润证明“1+1=2”哥德巴赫猜想的故事就发生在这个领域。
纯粹数学的研究分支：
1）代数学（Algebra）
数学中最重要的、基础的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。初等代数学是指 19 世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。
2）数论 （Number theory）
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼 ζ 函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等（http://www.baike.com/wiki/数论）。
3) 几何学（Geometry）
几何学，英文 Geometry 一词,是从希腊语演变而来的,其原意是土地测量、后被我国明朝的徐光启翻译成"几何学"。依据大量实证研究,创造几何学的是埃及人,几何学因土地测量而产生。几何是研究形的科学，人的视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。几何的发展首先是欧几里得的欧氏几何，其次是19 世纪上半叶非欧几何的诞生,再次是射影几何的繁荣，最后是几何学的统一（https://baike.baidu.com/item/几何学/342546?fr=aladdin）。
几何学的分支包括：平面几何，立体几何，非欧几何，罗氏几何，黎曼几何，解析几何，射影几何，仿射几何，代数几何，微分几何，计算几何，拓扑学等。
这里值得一提的是拓扑学，拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里， 重要的拓扑性质包括连通性与紧致性（https://zh.wikipedia.org/wiki/拓扑学）。
拓扑英文名是 Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。
4) 分析学（Analysis）
分析学，是 17 世纪以来在微积分学发展的基础上形成的数学一大分支。它曾和几何学、代数学并列为数学中的三个主要分支，并从18世纪以来相对独立地得到很大的发展，曾经被认为是数学的一个最大分支（http://www.baike.com/wiki/分析学）。
它是以微积分方法为基本工具，以函数为主要研究对象的众多数学经典分支及其现代拓展的统称，简称分析。
狭义的分析学，指数学分析，以微分学、积分学、级数论、实数理论为其基本内容。广义的分析学，极限的概念不仅是微积分的核心，也是许多其他学科的重要思想。其中微积分是近代数学的基础，从它已产生许多新的数学分支，如微分方程、函数论、变分法、泛函分析等，统称为广义的分析学（https://baike.baidu.com/item/分析学/2764797?fr=aladdin）。
5) 函数论（Function Theory）
函数论是实函数论和复变函数论的总称。实函数论是研究函数的连续性、可微性和可积性的理论；复变函数论是研究复变数的解析函数性质的理论。以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论（http://www.baike.com/wiki/函数论）。
函数论主要包括：实变函数论，单复变函数论，多复变函数论，函数逼近论，调和分析， 复流形，特殊函数论和函数论其他学科。
6) 组合数学（Combinatorial mathematics）
组合数学又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（最佳组合）等（https://baike.baidu.com/item/组合数学/821134?fr=aladdin）。
1.3.2 应用数学（Applied Mathematics ）
概念：
应用目的明确的数学理论和方法的总称，研究如何应用数学知识到其他范畴（尤其是科学）的数学分枝。部分学校作为数学系单独的研究方向。
应用数学的发展是以科学为依据，将纯数学中的结论扩展到其他科学中。应用数学包含的分支有：概率与统计、计算数学、物理数学，经济和金融数学、运筹优化、控制论等。更具体的来 说，它包括微分方程、向量分析、矩阵、拉普拉斯变换、傅里叶变换、复变分析、数值方法、概率论、数理统计、运筹学、博弈论、控制理论、组合数学、信息论等许多数学分支，也包括从各种应用领域中提出的数学问题的研究。应用数学涉及的领域很广泛，基本在现在的科学和工程各个领域都在 extensively & intensively 应用。
Wiki 中的简介：“图论应用在网络分析，拓扑学在电路分析上的应用，群论在结晶学上的应用，微分几何在规范场上的应用，自动控制理论在计算上的应用，黎曼几何应用于相对论，数理逻辑应用于计算机，最小二乘法应用于飞机起降时自动控制，利用数字合成计算机辅助的X 射线断层成像技术（1979 年数学家获得诺贝尔医学奖）。数论应用在密码学，博弈论、概率论、统计学应用在经济学，线性规划用于生产安排调度，都可见数学在不同范畴的应用。”
最常见的应用包括两个大的方向：一是计算机，随着计算机的飞速发展，需要一大批懂数学的软件工程师做相应的数据库的开发；二是经济学，现在的经济学有很多都需要用非常专业的数学进行分析，应用数学有很多相关课程本身设计就是以经济学实例为基础的。应用数学与纯数学最大的区别就是与实际的结合：设法解决自然现象与社会发展提出的数学问题，并将其探讨结果应用回到自然界与社会中去(https://www.douban.com/note/617992194/)。
应用数学的研究分支：
1）计算数学 （Computational Mathematics）
计算数学是伴随着计算机的出现而迅猛发展起来的新学科，涉及计算物理、计算化学、计算力学、计算材料学、环境科学、地球科学、金融保险等众多交叉学科。它运用现代数学理论与方法解决各类科学与工程问题，分析和提高计算的可靠性、有效性和精确性，研究各类数值软件的开发技术。
既突出了解决信息、电子与计算机领域中的某些核心理论技术问题，又注意到从这些高新技术中抽象出新的数学理论；在保持应用数学与计算数学主体研究方向优势的基础上，重视并加强信息科学的数学基础、数据分析与统计计算、科学计算、现代优化、电子系统的数值模拟、生物系统的数学建模等研究。
专业背景：要求考生具备基础数学、应用数学、信息技术、计算机科学、数据处理和系统分析，工程学、以及数字图像等学科知识。
研究方向：工程问题数值方法、发展方程与动力系统的数值方法、数值逼近与数字图像处
理、计算机图形学与计算机软件、光学与电磁学中的数学问题等。
2) 统计学 （Statistics）
统计学是应用数学的一个分支，主要通过利用概率论建立数学模型，收集所观察系统的数据，进行量化分析、总结，做出推断和预测，为相关决策提供依据和参考。它被广泛的应用在各门学科之上，从物理和社会科学到人文科学，甚至被用来工商业及政府的情报决策之上。随着数字化的进程不断加快，人们越来越多地希望能够从大量的数据中总结出一些经验规律从而为后面的决策提供一些依据。统计学专业不是仅仅像其表面的文字表示，只是统计数字，而是包含了调查、收集、分析、预测等。应用的范围十分广泛（https://baike.baidu.com/item/统计学专业）。
统计学的主分支包括：统计学史，理论统计学，统计调查分析理论，统计核算理论，统计监督理论，统计预测理论，统计逻辑学，统计法学，描述统计学，推断统计学，经济统计学，宏观经济统计学，微观经济统计学，管理统计学，科学技术统计学，农村经济调查，社会统计学， 教育统计学，文化与体育统计学，卫生统计学，司法统计学，会福利与社会保障统计学，生活质量统计学，人口统计学，环境与生态统计学，自然资源统计学，环境统计学，生态平衡统计学，国际统计学，国际标准分类统计学，国际核算体系与方法论体系，国际比较统计学。
统计学是一门很古老的科学，一般认为其学理研究始于古希腊的亚里斯多德时代，迄今已有两千三百多年的历史。它起源于研究社会经济问题，在两千多年的发展过程中，统计学至少经历了“城邦政情”、“政治算数”和“统计分析科学”三个发展阶段。所谓“数理统计”并非独立于统计学的新学科，确切地说，它是统计学在第三个发展阶段所形成的所有收集和分析数据的新方法的一个综合性名词。概率论是数理统计方法的理论基础，但是它不属于统计学的范畴，而是属于数学的范畴（https://baike.baidu.com/item/统计学/1175。）
3) 概率论 （Probability Theory）
概率论是研究随机现象数量规律的数学分支。随机现象是相对于决定性现象而言的。在一定条件下必然发生某一结果的现象称为决定性现象。例如在标准大气压下，纯水加热到100℃时水必然会沸腾等。随机现象则是指在基本条件不变的情况下，每一次试验或观察前，不能肯定会出现哪种结果，呈现出偶然性。例如，掷一硬币，可能出现正面或反面。
随机现象的实现和对它的观察称为随机试验。随机试验的每一可能结果称为一个基本事件，一个或一组基本事件统称随机事件，或简称事件。典型的随机试验有掷骰子、扔硬币、抽扑克牌以及轮盘游戏等。事件的概率是衡量该事件发生的可能性的量度。虽然在一次随机试验中某个事件的发生是带有偶然性的，但那些可在相同条件下大量重复的随机试验却往往呈现出明显的数量规律（https://baike.baidu.com/item/概率论/829122）。
概率论主要包括：几何概率，概率分布，极限理论，随机过程，马尔可夫过程，随机分析，鞅论，应用概率论，概率论其他学科。概率论是一门研究事情发生的可能性的学问，但是最 初 概 率 论 的 起 源 与 赌 博 问 题 有 关 。 16 世 纪 ， 意 大 利 的 学 者 吉 罗 拉 莫 ·卡尔达诺（Girolamo Cardano）开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。概率与统计的一些概念和简单的方法，早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小，从而产生了概率论，并使之逐步发展成一门严谨的学科。概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中（https://baike.baidu.com/item/概率论/829122?fr=aladdin。）
4) 数理统计
数理统计是以概率论为基础，研究社会和自然界中大量随机现象数量变化基本规律的一种方法。它以随机现象的观察试验取得资料作为出发点，以概率论为理论基础来研究随机现象。根据资料为随机现象选择数学模型，且利用数学资料来验证数学模型是否合适，在合适的基础上再研究它的特点、性质和规律性。数理统计是伴随着概率论的发展而发展起来的一个数学分支，研究如何有效的由集、整理和分析受随机因素影响的数据，并对所考虑的问题作出推断或预测，为采取某种决策和行动提供依据或建议（http://wiki.mbalib.com/wiki/数理统计）。
数理统计在自然科学、工程技术、管理科学及人文社会科学中得到越来越广泛和深刻的应用，其研究的内容也随着科学技术和政治、经济与社会的不断发展而逐步扩大，但概括地说可以分为两大类：⑴试验的设计和研究，即研究如何更合理更有效地获得观察资料的方法；⑵统计推断，即研究如何利用一定的资料对所关心的问题作出尽可能精确可靠的结论，当然这两部分内容有着密切的联系，在实际应用中更应前后兼顾。但按本专业的总体设计，我们的数理统计课程只讨论统计推断。数理统计以概率论为基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象统计规律性的学科。本课程的目的是让学生了解统计推断检验等方法并能够应用这些方法对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。掌握总体参数的点估计和区间估计。掌握假设检验的基本方法与技巧。理解平方差分析及回归分析的原理，并能运用其方法和技巧进行统计推断（https://baike.baidu.com/item/数理统计/408183?fr=aladdin）。
数理统计的主要内容有：参数估计，假设检验，相关分析，试验设计，非参数统计，过程统计，抽样理论，假设检验，方差分析，相关回归分析，统计推断，贝叶斯统计，试验设计，多元分析，统计判决理论，时间序列分析等。
5) 金融数学
金融数学又称分析金融学、数理金融学、数学金融学，是20世纪80年代末、90年代初兴起的数学与金融学的交叉学科。金融数学主要运用现代数学理论和方法(如:随机分析、随机最优控制、组合分析、非线性分析、多元统计分析、数学规划、现代计算方法等)对金融(除银行功能之外,还包括投资、债券、基金、股票、期货、期权等金融工具和市场)的理论和实践进行数量的分析研究。其核心问题是不确定条件下的最优投资策略的选择理论和资产的定价理论。套利,最优和均衡是其中三个主要概念。近二十几年来，金融数学不仅对金融工具的创新和对金融市场的有效运作产生直接的影响，而且对公司的投资决策和对研究开发项目的评估(如实物期权)以及在金融机构的风险管理中得到广泛应用。
在现代金融数学理论中,各种各样的金融经济学模型占据着中心地位。其中至今仍有重大影响的成果有:有效率的市场理论、证券组合理论、资本资产定价模型、套利定价理论、期权定价方程和资产结构理论等（http://wiki.mbalib.com/wiki/金融数学）。
6) 数学物理
数学物理以研究物理问题为目标的数学理论和数学方法。它探讨物理现象的数学模型，即寻求物理现象的数学描述，并对模型已确立的物理问题研究其数学解法，然后根据解答来诠释和预见物理现象，或者根据物理事实来修正原有模型。“数理”也叫“数学物理”，是数学和物理学的交叉领域，指应用特定的数学方法来研究物理学的某些部分。对应的数学方法也叫数学物理方法。
随着电子计算机的发展，数学物理中的许多问题可以通过数值计算来解决，由此发展起来的“计算力学”和“计算物理”都发挥着越来越大的作用。计算机直接模拟物理模型也成为重要的方法。此外各种渐近方法也继续获得发展。科学的发展表明，数学物理的内容将越来越丰富，解决物理问题的能力也越来越强。其他各门科学，如化学、生物学、地学、经济学等也广泛地利用数学模型来进行研究。数学物理中的许多方法和结果对这些研究发挥了很好的作用。在工程科学中，处处需要精确地求解物理问题，所以数学物理对于技术进步也有非常重要的意义。此外，数学物理的研究对数学有很大的促进作用。它是产生数学的新思想、新对象、新问题以及新方法的一个源泉（https://baike.baidu.com/item/数学物理/5363054?fr=aladdin）。
2.1 专业背景
要求本科为数学或相关专业，上过高等微积分和复合变量、微分方程和线性代数、概率论和离散数学等数学相关课程。
2.2 先修课程
先修课程要求多为数学的基础课程和高阶课程为主，以康奈尔大学为例：
Prerequisites
Mastery of the material required for an undergraduate major in mathematics, including a rigorous course in advanced calculus and real variable theory that will serve as an introduction to measure theory and courses in linear algebra and modern abstract algebra at an advanced level. Applicants should also have some familiarity with applications of advanced calculus.
2.3 其他要求
需要注意，美国大学排名前20的学校很多强制要求学生在递交申请材料时，必须同时提交GRE Subject 数学的考试和GRE general 的成绩，但是关于托福和雅思成绩，学校一般给出的最低要求都不等，具体要以学校为主。
