干货 | AP Calculus中的积分方法总结，关键时刻救你一命！-新东方前途出国

首先第一波是希望大家一定要牢记的公式

每个都必须背起来！

第二波公式属于：背不下来，你可以考场上临时推导一下嘛！下一篇推送我们在讲到具体方法的时候在三角函数那一块会来和大家讨论这些式子如何推导。知道推导方法了以后，我们也可以考场上临时求一下。

神马？不会推导？

那你还不老老实实的给我背下来？

一般常见的换元法，就不多说了，看到式子不熟悉的情况下，可以尝试用换元来做，但是换元如何选择，选择的好不好也影响到了这道题能不能做出来，方法是否简单。

比如下面这个式子：

如何选择换元呢？你有以下几种选择：

怎么选择才是最方便的呢？如何选择换元呢？

总不能考试的时候慢慢试探吧。

所以希望大家能够熟练的掌握下一种方法：

凑微分法！

请把下列式子牢牢地印在你的脑海里↓

什么时候使用凑微分的方法？就是当你看到积分式子中有这样的形式可以去凑，并且剩余的部分只和右边括号里面的式子有关系，那么就可以用这样凑微分的方法来计算。

比如回到我们刚才的式子：

如果稍微做出一些变形后，大家可以看到式子可以被变换成：

通过运用凑微分的式子：

可以把一个对x积分的式子变成对tanx积分的式子，同时我们可以观察到，剩下来的部分都是和tanx有关的部分，因此就可以把tanx看成是一个整体来处理。

这里如果用换元法去做的话，其实是我们把tanx看成了一个整体进行换元。

那么怎么知道这才是正确的换元方法呢？

你得对上面的十个式子非常熟悉才可以吧！

1.多项式分式

如果分母相对来说比较简单

（什么叫分母简单呢，就是你把分子全部换成1以后，这样的分式你会积分计算，那就可以判断成分母较为简单）

如这样的一些分母：

这些分母形式都是可以直接套用公式，或者通过简单的换元/凑系数的方法进行快速的积分，因此我们把他们归成简单的分母。

（1）如果分子的最高次数大于等于分母的最高次数

the highest order of the numerator is greater than or equal to the highest order of the denominator

比如这样的：

分子的最高次数都要大于等于分母的最高次数：

我们采取的方法是：拆分子

也就是把分子拆成多项来和分母约分，从而让最后的分式只保留分子较为简单的形式：

（2）如果分母相对来说比较简单，但是分子的次数较小

这个时候我们需要对分母进行处理，

如果分母出现是二次多项式的形式

我们可以把分母根据不同形式分成两种类型

如果分母是第一种形式，我们把积分式子往arctan（x）的公式上去凑，比如：

如果分母是第二种形式，我们需要进行因式分解，比如：

不管分子是简单的1，还是关于x的简单的低次多项式，都可以采取这个方法。

为了更好的记住多项式分式的做法，

大家可以练习下面这个多项式系列↓

2.三角函数

三角函数中的做法比较多，不少题目都是涉及到凑微分的方法。比如我们看到下面几个形式：

首先（1）比较简单，可以直接用公式计算。

（2），（5）这样的三角函数次数为偶次的，我们需要通过利用二倍角公式进行化简

（3）（4）这样的如果三角函数的次数是奇次，我们需要把一个落单的三角函数拿出来凑微分

比如（3）：

对于（6）这样的式子，因为sinx在分母上，我们不好凑微分，所以需要适当做出一些处理：

后面的步骤需要大家思考如何去做。

tips：想一想前面我们说的分母因式分解。

（7）这个式子：

不要条件反射的想到偶次项用二倍角公式降次，请牢牢地记得这个公式：

如果要积分的式子中有根号，一般我们有以下几种方法：

1.直接换元：

直接把根号里面集体换元就好了。

2.三角换元

如果出现了这样的式子：

我们不能直接把整个根号换元，换元以后大家会发现又回到了这样的形式，所以这个时候我们需要通过三角函数来开根号：

一般常用的换元式子：

3. 根号下内容相同，根号次数不同，选择最小公倍数

4.分母有理化

如果根号下内容不同，我们需要对分母进行简化：

分部积分主要运用于两种

1. 两种不同形式乘在一起

这时候我们利用分部积分的式子（求导乘法法则的变形）

u'和v的选择比较重要，一般情况下，我们对含有x的式子求导，对sinx，cosx和e^x进行积分。

需要注意的是：如果需要通过两步分部积分计算的话，请保持两步中u'和v的选择形式一致。

2. 无法计算积分的单独式子可以看成1乘以这个式子：

比如：

这两个式子，我们没有其他办法求积分，因此看成是1乘以这个式子：

同理大家可以思考一下另一个式子如果求解。