微信扫一扫
图形与方程式（図形と方程式）是EJU数学（尤其是理科数学）的重头戏，每年必考大题。很多同学公式背得滚瓜烂熟，但一遇到“轨迹”、“区域”或“切线”问题就手忙脚乱。
今天分享：实战中真正能帮你提速、避坑的小技巧。建议收藏，考前反复看！
技巧一：圆的切线问题，别急着联立，用「距离公式」一步到位
问题场景
题目给你圆 ，求过点
的切线方程。
常见做法
设切线为 ，代入圆方程，令判别式
求
。
后果：计算量巨大，容易算错系数，浪费5分钟。
√技巧做法：圆心到直线的距离 = 半径
- 设直线：
- 找圆心半径：圆心
，半径
- 列距离公式：
- 解方程：两边平方，解出
。
口诀：“点线距离等于半径”——比联立判别式快3倍！
注意：如果点在圆外，通常有两条切线；如果点在圆上，只有一条。别忘了检验斜率不存在的情况（即 是否为切线）。
技巧二：轨迹问题，记住「相关点法」三步走
问题场景
点 在圆
上运动，点
是
关于点
的对称点，求
的轨迹。
常见做法
设 ，
，然后……卡住，不知道怎么写关系式。
√技巧做法：相关点法（逆代法）
Step 1：设动点
设 ，
Step 2：写关系
因为 是
关于
的对称点，所以
是
中点：
Step 3：代入原方程
把 代入
的轨迹方程
：
核心原则：已知点 的轨迹 → 求相关点
的轨迹 → 用
表示
→ 代入
的方程。
技巧三：区域问题，用「测试点法」秒判上下左右
问题场景
画出不等式 表示的区域。
常见做法
死记“大于取上方，小于取下方”——但遇到 或斜线就懵了。
√技巧做法：选一个测试点（通常选原点）
- 画边界线：
（虚线，因为是
不含等号）
- 选测试点：选
（不在边界上）
- 代入不等式：
？ 显然不成立
- 结论：原点不在区域内 → 区域在边界线的另一侧（即抛物线“内部”）
口诀：“代原点，看真假，真则含原点，假则不含”——比死记硬背靠谱10倍！
技巧四：直线与圆的位置关系，用「判别式」还是「距离」？
问题场景
判断直线 与圆
的位置关系（相交、相切、相离）。
常见做法
联立方程，算判别式 。
√技巧做法：比较「圆心到直线距离 」与「半径
」
- 圆心
，半径
- 直线：
- 距离：
- 比较：
→ 相交（两个交点）
总结：
- 求切线 → 用距离公式（
）
- 判断位置关系 → 用距离 vs 半径（更快）
- 求交点坐标 → 才用联立方程
考前易错清单（血泪总结）
|
No |
易错点 |
正确做法 |
|
1 |
切线漏解 |
点在圆外时，通常有两条切线；别忘了斜率不存在的情况（竖直线） |
|
2 |
轨迹漏范围 |
求轨迹时，注意 |
|
3 |
区域画错虚实线 |
|
|
4 |
距离公式漏值 |
点到直线距离：分子是 $ |
|
5 |
中点公式搞反 |
|
|
6 |
圆的一般式配方错 |
|
最后的话
图形与方程式在EJU数学中占比极大，但它的题型其实非常固定。只要你：
- 切线问题优先用“距离=半径”
- 轨迹问题养成“相关点法”三步走习惯
- 区域问题用“测试点法”验证
- 位置关系比较“距离 vs 半径”
那么图形与方程式的分数，基本就是稳拿的。
EJU数学拼的不是难度，而是速度和准确率。把技巧变成习惯！
