2025年11月EJU考试文科数学考情解析与解题思路
2025年第二次EJU文科数学考试已结束，本次命题延续了“基础题型为主，综合应用能力要求提升”的特点，各题型在考查核心知识点的同时，更注重对逻辑推理与参数分析能力的检验。以下结合具体题目，从考点分布、解题关键及备考建议三方面展开分析。
一、第1大题：函数图像变换与坐标运算（基础综合题）
题目特征：以二次函数的平移变换为载体，涉及参数求解与坐标映射，整体难度适中，侧重对函数变换本质的理解。
核心考点解析
- 二次函数平移规律：题目给出两种不同移动方式S与T（含参数a、b），要求通过“变换后函数重合”这一条件建立方程。需明确：二次函数图像平移仅改变顶点坐标，不改变开口方向与形状，因此可通过顶点坐标的对应关系列方程组（如S变换后顶点为（h1,k1），T变换后顶点为（h2,k2），则h1=h2且k1=k2）。
- 定点坐标变换：已知原函数上一点（1,2），求经S、T变换后的坐标。需注意：函数图像平移本质是对自变量x与函数值y的“加减运算”（如“向右平移m个单位”对应x→x-m），直接代入变换公式即可，避免混淆平移方向。
解题步骤示例
- 设原二次函数为y=ax²+bx+c（或顶点式y=a(x-h)²+k），分别写出S、T变换后的函数表达式；
- 根据“两函数重合”得出参数a、b的等量关系，联立求解；
- 将点（1,2）代入变换公式，计算新坐标。
常见误区：忽略“平移方向与符号的对应”（如“向上平移”是y值加，而非x值加）；参数方程列写时遗漏二次项系数的一致性。
二、第二大题：概率与方程综合（经典题型变式）
题目特征：分为“数字组合概率”与“无理数性质应用”两问，前者源自历年真题的变式（如平成20年概率题），后者则通过方程根的整数与小数部分，考查代数式化简与整体代入技巧。
问1：概率计算（基础应用题）
从-3至3的7个整数中任取3个数（a,b,c），考查分步计数原理与分类讨论能力：
- 总方法数：因“拿出的顺序分别是a,b,c”，故为有顺序选取（排列问题），总情况数为7×6×5=210种。
- 限定条件组合（a＜0＜b＜c）：需分步骤满足条件：
- a只能从-3,-2,-1中选（3种）；
- b、c需从1,2,3中选且b＜c（组合问题，C₃²=3种，再按顺序排列b＜c）；
- 合计3×3=9种，注意a的符号与b、c的大小关系需同时满足。
- 事件概率（如a+b+c=3）：需枚举所有可能的（a,b,c）组合，如（-3,1,5）（但5超出范围，需排除），实际有效组合需在7个数内验证，避免遗漏负数的补偿作用（如a=-1,b=2,c=2，但数字是否可重复需看题目要求“分别拿出”——通常指无放回，故b、c不可重复）。
问2：无理数性质与代数式化简（能力拔高题）
已知方程x²-5x+5=0的较大根为α，其整数部分为a，小数部分为b（即α=a+b，0＜b＜1），考查“无理数整数与小数部分分离”及“降次思想”的应用：
- 求ab与b+1/b：
- 先解方程得α=(5+√5)/2≈3.618，故a=3，b=α-3=(√5-1)/2；
- 计算ab=3×(√5-1)/2，b+1/b可通分后利用b的表达式化简（分母有理化）。
- 高次代数式求值（如b³+2b²+3）：
- 核心技巧：利用原方程“α²=5α-5”，因α=a+b=3+b，故(3+b)²=5(3+b)-5，展开得b²+6b+9=15+5b-5，化简为b²=-b-1（此即“降次公式”）；
- 将b³= b·b²=b(-b-1)=-b²-b=-(-b-1)-b=1，代入原式得1+2(-b-1)+3=2-2b，再代入b的值即可。
关键提示：遇到高次代数式（b³、b⁴等），务必通过原方程导出低次等式（如b²=-b-1），避免直接代入无理数计算，否则易出错且耗时。
三、第三大题：整数性质与参数方程（逻辑推理题）
题目特征：分为“最大公约数与最小公倍数”和“参数方程解的讨论”两部分，前者考查数论基础，后者则通过参数a的符号变化，检验分类讨论的严密性。
问1：整数性质应用（基础数论题）
已知a、b、c为整数，结合最大公约数（gcd）与最小公倍数（lcm）性质求具体值：
- 由ab的gcd与lcm求ab：利用公式“gcd(a,b)×lcm(a,b)=a×b”，若已知gcd(ab)=m，lcm(ab)=n，则a×b=m×n，再结合a、b的其他限定条件（如a＜b，且均为正整数）可求出a、b的具体值。
- 由b与c的lcm=588求c：先分解质因数588=2²×3×7²，因b的值已由前一步求出，故c需满足：
- c的质因数只能包含2、3、7（或其中部分）；
- 对于每个质因数，c的指数需≥b对应质因数的指数（因lcm(b,c)取各质因数zuigao指数）；
- 结合b的质因数分解结果，即可确定c的可能取值（如b=14=2×7，则c需含7²，且2的指数≤2，3的指数≥0，从而得出c=2²×3⁰×7²=196或2⁰×3¹×7²=147等）。
问2：参数方程的解与参数范围（较难题）
含参数a的两个函数（如f(x)=x²+ax+1，g(x)=ax²+x+1），需讨论：
- a＞0与a＜0时函数的正负解：需分情况打开juedui值（若有）、因式分解（或求根公式），注意二次函数开口方向（a的符号影响）对解集的影响；
- 两函数有共同解时a的范围：即方程f(x)=g(x)有解，化简得(a-1)x²+(a-1)x=0，分a=1（恒等）与a≠1（解方程x[(a-1)x+(a-1)]=0）讨论，结合原函数定义域（若有）确定a的取值。
易错点：忽略参数a=0或a=1的特殊情况（此时函数可能为一次函数）；解不等式时未考虑二次项系数符号对不等号方向的影响。
四、第四大题：立体几何与三角函数（综合能力题）
题目特征：以正四面体为载体，表面上是立体几何，实则通过线段比例关系转化为平面几何问题，仅涉及余弦定理（未考正弦定理或面积公式），考查空间想象力与定理迁移能力。
核心考点：在棱长为1的正四面体中，三条棱上分别有分点R、S、T（分比为t:1-t），求△RST中某角的余弦值及面积最大值：
- 空间线段长度计算：利用正四面体的性质（各棱长相等，顶点在底面射影为重心），建立空间直角坐标系（或通过棱中点作辅助线），将R、S、T的坐标用t表示（如设某顶点为(0,0,0)，棱长为1，根据分比t写出坐标）。
- 余弦定理应用：在△RST中，已知三边长度（用t表示的代数式），利用余弦定理cosθ=(RS²+RT²-ST²)/(2·RS·RT)，化简后可得θ与t的关系。
- 面积最值：根据θ的表达式，结合二次函数或三角函数的有界性（如t∈[0,1]），求出面积S=(1/2)·RS·RT·sinθ的最大值。
解题关键：将立体图形“平面化”，通过作截面（如过R、S、T三点的截面）或建立坐标系，将空间距离转化为坐标差的平方和，避免因空间想象困难导致思路卡顿。
五、备考建议与总结
- 夯实基础题型：函数平移、概率计算、最大公约数与最小公倍数等基础题型需保证熟练度，确保常规题不丢分（如第1、3题）。
- 强化代数变形技巧：无理数的整数与小数部分、高次代数式降次（如第二大题问2）需多练“整体代入”，避免硬算。
- 培养分类讨论意识：参数方程（第二大题问2）、立体几何中的动态点（第四大题t的变化）需明确分类标准（如a的正负、t的取值范围），确保逻辑严密。
- 错题归因分析：区分“知识点遗忘”（如概率公式记错）、“计算失误”（如符号错误）、“思路偏差”（如立体几何未建系），针对性改进（如用“错题本+同类题复盘”强化薄弱模块）。
本次考试再次验证：EJU数学并非追求“偏难怪”，而是通过经典题型的变式，考查对知识本质的理解与灵活应用能力。后续备考需在“基础扎实”的前提下，加强“跨模块综合题”的训练（如概率与方程结合、几何与函数结合），方能应对命题趋势的新变化。
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