美国本科纯粹数学的研究分支-新东方前途出国

　　数学中最重要的、基础的分支之一。代数学的历史悠久，它随着人类生活的提高，生产技术的进步，科学和数学本身的需要而产生和发展。在这个过程中，代数学的研究对象和研究方法发生了重大的变化。代数学可分为初等代数学和抽象代数学两部分。初等代数学是更古老的算术的推广和发展，而抽象代数学则是在初等代数学的基础上产生和发展起来的。初等代数学是指  19 世纪上半叶以前的方程理论，主要研究某一方程（组）是否可解，怎样求出方程所有的根（包括近似根）以及方程的根所具有的各种性质等。代数之前已有算术，算术是解决日常生活中的各种计算问题，即整数与分数的四则运算。代数与算术不同，主要区别在于代数要引入未知数，根据问题的条件列方程，然后解方程求未知数的值。 

　　2）数论 （Number theory） 

　　数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼 ζ 函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等 

　　3) 几何学（Geometry） 

　　几何学，英文 Geometry 一词,是从希腊语演变而来的,其原意是土地测量、后被我国明朝的徐光启翻译成"几何学"。依据大量实证研究,创造几何学的是埃及人,几何学因土地测量而产生。几何是研究形的科学，人的视觉思维为主导，培养人的观察能力、空间想象能力和洞察力。几何的发展首先是欧几里得的欧氏几何，其次是19 世纪上半叶非欧几何的诞生,再次是射影几何的繁荣，最后是几何学的统一（https://baike.baidu.com/item/几何学/342546?fr=aladdin）。 

　　几何学的分支包括：平面几何，立体几何，非欧几何，罗氏几何，黎曼几何，解析几何，射影几何，仿射几何，代数几何，微分几何，计算几何，拓扑学等。 

　　这里值得一提的是拓扑学，拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里， 重要的拓扑性质包括连通性与紧致性拓扑英文名是 Topology，直译是地志学，最早指研究地形、地貌相类似的有关学科。拓扑学是由几何学与集合论里发展出来的学科，研究空间、维度与变换等概念。 

　　4) 分析学（Analysis） 

　　分析学，是 17 世纪以来在微积分学发展的基础上形成的数学一大分支。它曾和几何学、代数学并列为数学中的三个主要分支，并从18世纪以来相对独立地得到很大的发展，曾经被认为是数学的一个最大分支）。 

　　它是以微积分方法为基本工具，以函数为主要研究对象的众多数学经典分支及其现代拓展的统称，简称分析。 

　　狭义的分析学，指数学分析，以微分学、积分学、级数论、实数理论为其基本内容。广义的分析学，极限的概念不仅是微积分的核心，也是许多其他学科的重要思想。其中微积分是近代数学的基础，从它已产生许多新的数学分支，如微分方程、函数论、变分法、泛函分析等，统称为广义的分析学 

　　5) 函数论（Function Theory） 

　　函数论是实函数论和复变函数论的总称。实函数论是研究函数的连续性、可微性和可积性的理论；复变函数论是研究复变数的解析函数性质的理论。以实数作为自变量的函数就做实变函数，以实变函数作为研究对象的数学分支就叫做实变函数论。它是微积分学的进一步发展，它的基础是点集论。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论 

　　函数论主要包括：实变函数论，单复变函数论，多复变函数论，函数逼近论，调和分析， 复流形，特殊函数论和函数论其他学科。 

　　6)  组合数学（Combinatorial mathematics） 

　　组合数学又称为离散数学。广义的组合数学就是离散数学，狭义的组合数学是离散数学除图论、代数结构、数理逻辑等的部分。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化（zui佳组合）等 

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