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微分法（微分法/びぶんほう）是EJU数学（尤其是理科数学）中分值高、出现频率高的模块之一。很多同学觉得微分题”看起来简单，做起来就错”，尤其是在求极值、判断增减性、求切线方程和证明不等式等问题上，常常因为步骤不全、符号判断错误导致丢分。
其实，微分题的核心在于“求导→判号→列表→结论”这四步。只要掌握了正确的解题流程，很多复杂的函数问题都能迎刃而解。今天分享：实战中真正能帮你快速破题、简化计算的”必杀技”。建议收藏，考前反复看！
技巧一：求极值・最大最小値——「導関数=0」が一ステップ
问题场景
求函数的极值，或者给定闭区间[a,b]上求函数的最大值和最小值。
常见做法
直接代入端点值，忘记检查极值点；或者求导后不会解f’(x)=0，卡在一步就放弃了。
√ 技巧做法：三步走——求导=0→判增减→比大小
- 求导数f’(x)：对原函数f(x)逐项求导，注意幂函数求导公式 (xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹
- 解f’(x)=0：求出临界点x=α（可能有多个）
- 列出增减表（増減表）：判断每个临界点两侧f’(x)的符号，确定是极大值点还是极小值点
- 比较大小：闭区间上的最大值=所有极值点函数值与端点函数值中的最大者
口诀：“求导等于零，临界点找出来；增减表一画，大小比较定乾坤。”
注意：闭区间上的大值最小值，一定要比较极值点和端点处的函数值！只算端点会丢分。另外，f’(x)=0的解不一定是极值点（可能是拐点），必须验证两侧导数变号。
技巧二：增减性判定——「導関数の符号」で一発判定
问题场景
判断函数在某个区间上的增减性，或者证明函数在某区间上单调递增/递减。
常见做法
凭感觉画图判断，或者试图用定义法（Δx→0的极限）硬算，浪费时间还容易错。
√ 技巧做法：导数正负判增减
- 求导数f’(x)
- 解f’(x)>0，得到函数的递增区间
- 解f’(x)<0，得到函数的递减区间
- 结论：f’(x)>0 ⇒ 増加，f’(x)<0 ⇒ 減少
口诀：“导数大于零，函数在递增；导数小于零，函数在递减；导数恒非负，单调不减跑不了。”
注意：f’(x)≥0（或≤0）时，函数是单调不减（或非增），但不一定是严格单调。要排除导数在区间上恒为0的离散点。另外，定义域优先！先确定函数的定义域再求增减区间。
技巧三：切线方程——「微分係数=傾き」の瞬間
问题场景
求曲线y=f(x)在某点处的切线方程，或者过某点作曲线的切线。
常见做法
记不住切线公式，或者混淆”在点上”和”过点”的区别，导致答案完全错误。
√ 技巧做法：点斜式一步到位
- “在点(a, f(a))处的切线”（切点已知）：直接用公式 y - f(a) = f’(a)(x - a)
- “过点(p, q)作曲线的切线”（切点未知）：
-
- 设切点为(α, f(α))
- 列方程：q - f(α) = f’(α)(p - α)
- 解出α后，再代入切线公式
口诀：“切线方程不用慌，微分系数就是斜；点在曲线上直接代，点在曲线外设切点。”
注意：“在点上”和”过点”是两回事！“在点”意味着切点已知，直接代入；“过点”意味着切点未知，需要设未知数求解。这是EJU常考的陷阱题。
技巧四：不等式の証明——「補助関数」を作って導関数で攻める
问题场景
证明f(x) > g(x)（或f(x) ≥ g(x)）在某个区间上成立。
常见做法
试图直接变形f(x) - g(x) > 0，或者代入特殊值验证——代入特殊值只能验证个别点，不能证明整个区间成立。
√ 技巧做法：构造辅助函数，用导数证明单调性
- 构造辅助函数：h(x) = f(x) - g(x)
- 求导：h’(x)
- 判断h’(x)的符号：确定h(x)的增减性
- 找最小值：找到h(x)的最小值（或下界），证明h(x) > 0，从而原不等式成立
口诀：“不等式要证明，辅助函数来帮忙；求导判增减，最小值大于零，不等式成立。”
注意：构造辅助函数后，一定要检查定义域！有时候需要在端点处验证h(x)的值。另外，如果h’(x)的符号不容易直接判断，可以尝试二次求导h’‘(x)来分析h’(x)的单调性。
技巧五：パラメータの範囲を求める——「導関数が実数解を持つ」条件
问题场景
已知函数f(x)有极值（或有两个极值点），求含参表达式中参数a的取值范围。
常见做法
盲目代入特殊值试错，或者不考虑判别式的条件直接求解，导致范围求多或求少。
√ 技巧做法：转化为导数为0有解的问题
- 求导f’(x)
- 令f’(x)=0，得到关于x的方程（含参数a）
- 利用判别式D>0（或零点存在定理）求出参数a的范围
- 验证：所得范围内确实存在极值（导数在该点两侧变号）
口诀：“极值存在导数为零有解；判别式大于零，参数范围就出来；别忘了验证，舍去不合题意的解。”
注意：f’(x)=0有解≠有极值！还需要验证导数在该点两侧变号（即确实是极值点而非拐点）。另外，参数a本身可能有限制条件（如分母不为0、根号下非负等），别忘了取交集。
考前易错清单（血泪总结）
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No |
易错点 |
正确做法 |
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1 |
求导出错 |
幂函数求导公式熟记：(xⁿ)’ = nxⁿ⁻¹，指数函数(eˣ)’ = eˣ |
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2 |
忘记检查端点 |
闭区间最值 = 极值点函数值与端点函数值比较 |
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3 |
“在点上”和”过点”搞混 |
在点=切点已知直接代，过点=设切点列方程解 |
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4 |
导数为0就说是极值 |
必须验证两侧导数变号，否则可能是拐点 |
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5 |
辅助函数构造不出来 |
把不等式一边移到另一边，令h(x)=左边-右边 |
考前易错清单（血泪总结）
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4 |
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5 |
