EJU数学技巧篇七——数列_付方丽的博客-新东方前途出国

数列（数列）是EJU数学（尤其是文科数学）中的高频考点，几乎每场考试都会出现2~3道数列题。很多同学觉得数列题”公式多、套路杂”，看到递推关系就头晕，遇到求和问题就抓瞎，最后只能靠猜。
其实，数列题的核心在于“通项意识”和“求和套路”。只要掌握了正确的切入点，很多复杂的数列题都能快速破题、简化计算。今天分享：实战中真正能帮你快速解题、拿到分数的”必杀技”。建议收藏，考前反复看！
技巧一：等差等比，认准”首项”和”公差/公比”
问题场景
已知等差数列{an}或等比数列{an}的某些项，求通项公式或前n项和Sn。
常见做法
试图逐项计算，或者列出复杂的方程组，算到一半发现方向错了，还浪费时间。
√ 技巧做法：抓住”首项”和”公差/公比”这两个灵魂参数
1.等差数列：通项公式 an = a₁ + (n−1)d，前n项和 Sn = n(a₁ + aₙ)/2 = na₁ + n(n−1)d/2
2.等比数列：通项公式 an = a₁ · r^(n−1)，前n项和 Sn = a₁(1−rⁿ)/(1−r)（r ≠ 1）
3.等差中项：若 a, b, c 成等差数列，则 2b = a + c
4.等比中项：若 a, b, c 成等比数列，则 b² = ac
口诀：“等差找首差，等比找首公；通项求和记清楚，中项公式别搞混。”
注意：遇到”已知第m项和第n项，求其他项”的题目，用 an = am + (n−m)·d（等差）或 an = am · r^(n−m)（等比）更快捷，不需要从头算起。
技巧二：求和神器——裂项法与错位相减法
问题场景
数列通项是分式形式（如 1/[n(n+1)]）或”等差×等比”形式（如 n·2ⁿ），要求前n项和。
常见做法
直接逐项相加，或者试图找规律，算到第三项就放弃了，或者用错方法导致越算越复杂。
√ 技巧做法：对号入座——裂项法 or 错位相减法
裂项法（适用于分式型通项）：
5.将通项拆成两个简单分式的差
6.经典例子：1/[n(n+1)] = 1/n − 1/(n+1)
7.相加时中间项相互抵消，只剩首尾两项
错位相减法（适用于”等差×等比”型通项）：
8.写出 Sn 的表达式
9.两边乘以公比 r，得到 r·Sn
10.两式相减，中间出现一个等比数列求和
11.化简得到 Sn 的最终表达式
口诀：“裂项相消首尾留，错位相减乘公比；相减之后等比求，化简即可得答案。”
注意：裂项时要注意提取系数，有时候裂项后会多出一个常数因子，不要忘记除回去；错位相减法相减后一定要仔细检查项的对齐是否正确，这是最容易出错的地方。
技巧三：递推数列，抓住”构造法”和”特征方程”
问题场景
已知递推关系 a(n+1) = f(an)，要求通项公式 an。
常见做法
试图逐项计算找规律，或者无从下手直接放弃。
√ 技巧做法：分类讨论，对号入座
12.类型一：a(n+1) = p·an + q（一阶线性递推）
◦构造等比数列：令 bn = an + q/(p−1)，则{bn}是公比为p的等比数列
◦特例：当 p = 1 时，a(n+1) = an + q，此时{an}本身就是等差数列
13.类型二：a(n+1) = p·an + qⁿ
◦两边除以 q^(n+1)，令 bn = an/qⁿ，转化为类型一
14.类型三：a(n+1) = an + f(n)（累加法）
◦直接累加：aₙ = a₁ + Σf(k)（k从1到n−1）
15.类型四：a(n+1) = an · f(n)（累乘法）
◦直接累乘：aₙ = a₁ · Πf(k)（k从1到n−1）
口诀：“递推数列不用怕，分类讨论来帮忙；线性递推构造等比，累加累乘直接上。”
注意：构造法的关键是”凑”——把递推式凑成等比数列的形式。如果你发现 a(n+1) + c = p·(an + c)，那么 bn = an + c 就是等比数列，公比为p。
技巧四：数列不等式，善用”放缩法”和”数学归纳法”
问题场景
证明数列不等式，如 Sn < M（M为常数）或 an > f(n) 之类的大题。
常见做法
试图直接计算每一项，或者硬算导致计算量爆炸，最后算不出来还浪费时间。
√ 技巧做法：放缩 + 归纳，双管齐下
16.放缩法（最常用）：
◦将通项放大或缩小为可求和的形式
◦经典放缩：1/n² < 1/[n(n−1)] = 1/(n−1) − 1/n（裂项放缩）
◦目标：放缩后能裂项相消或变成等比数列求和
17.数学归纳法：
◦一步：验证 n = 1 时命题成立
◦第二步：假设 n = k 时命题成立，证明 n = k+1 时也成立
◦关键：归纳假设一定要用足，不能只用到部分信息就急着推导
口诀：“不等式证放缩巧，裂项等比任挑选；归纳两步不能少，基础假设推导全。”
注意：放缩法的核心难点是”放多少”——放太多可能证不出来（放过了），放太少可能算不出来（没放够）。通常需要尝试不同的放缩方式，多做几道题就能找到感觉。
技巧五：数列应用题，翻译成”等差等比”是关键
问题场景
题目给出实际背景（如分期付款、细胞分裂、放射性衰变等），要求建立数列模型并求解。
常见做法
被题目中的文字描述绕晕，找不到数列的规律，或者建错模型。
√ 技巧做法：翻译——找”不变量”
1.等差模型：每次增加（或减少）一个固定量 → 等差数列
◦典型场景：分期付款（等额本金）、匀速增长
2.等比模型：每次按固定比例增长（或衰减）→ 等比数列
◦典型场景：细胞分裂（倍增）、放射性衰变（减半）、复利计算
3.翻译步骤：
◦一步：找出”第n年/月”对应的量，记为 an
◦第二步：找出 an+1 和 an 的关系（差为常数？比为常数？）
◦第三步：确定首项 a₁ 和公差/公比
◦第四步：选择通项或求和公式求解
口诀：“应用题别慌张，翻译成数列就简单；等差找固定差，等比找固定比，首项公比找对了，公式一套就搞定。”
注意：分期付款问题要注意”期初付款”和”期末付款”的区别，这会影响利息的计算方式。日本EJU考试中，分期付款通常按”期末付款”处理。
考前易错清单（血泪总结）
No 易错点正确做法
1 等比数列求和忘记 r=1 的情况必须分 r=1 和 r≠1 两种情况讨论
2 裂项后忘记验证系数裂项后展开看看是否等于原式
3 错位相减对齐出错写清楚 Sn 和 r·Sn 的每一项，逐项相减
4 递推数列构造方法用错先判断递推类型再选择方法，不要盲目套用
5 累加/累乘忘记确定首项和末项写清楚求和/求积的起止范围
6 数学归纳法归纳步骤不完整必须明确写出使用归纳假设的过程
7 通项公式求出后不验证代入 n=1, n=2 检查是否满足递推关系
8 应用题建模错误先翻译文字为数学关系，再判断等差/等比